[수학 1 실전 개념] 10강 : 지수/로그 함수 그래프 (5) - 스킬) 추론형 문제 - 대소관계

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오늘 같이 공부해볼 주제는 2등급 이상 노리는 분들만 들으면 될 것 같습니다~

조금 어려운 내용이기도 하고 일반적인 학교에서는 해당 유형에서 1문제 정도가 만점 방지용으로 나올 가능성이 높습니다.

 

그래도, 그래프를 잘 그리고 주변 값을 잘 활용하면 못 풀 문제들은 아닙니다.

조금 이해하기 어려운 포스팅이 될지도 모르겠네요.

 

0. 대표 문제

[출처 : 지학사 교과서]

교과서 문제이지만, 기출기반으로 꽤 잘 짜여진 문제라 가져왔습니다~

교과서 문제를 무시하면 안된다는 반증이기도 합니다

아마 풀리긴 하더라도 이게 맞나..? 라는 의심이 들 가능성이 높습니다.

일단, 이런 대소 관계 - 추론형 문제를 만났을 때는 -> "그래프를 그리자"가 기본 마인드가 되어야 합니다.

 

관련 실전 개념부터 차근차근 공부해보도록 합시다.

(늘 그랬듯이 해설은 맨 마지막에 있습니다)

 

 

1. 그래프를 "잘" 그리는 방법

 

우리가 6강에서 배웠던 그래프그리는 방법을 복습해보면 다음과 같습니다.

[간략한 버전]

기억이 안나거나 생소하신 분들은 아래 글을 참고하고 오시면 좋을 것 같습니다.

https://study-all-night.tistory.com/81

 

위의 방법론으로도 그래프를 꽤나 정확히 그릴 수 있습니다.

그러나, 대소 관계 비교 문제는 "정확히 그릴수록 문제풀이에 유리"하기 때문에

조금 더 디테일하게 그래프를 그려보도록 합시다.

 

가장 많이 등장하는 지수함수 그래프는 다음과 같습니다.

[대충 발로 그린 그림]

위 그림 처럼 그리더라도 대부분의 문제에서는 문제가 없지만,

대소 관계 추론형에서도 똑같이 그린다면 조금 갑갑해질 수 있습니다.

 

그러므로,

1. 문제에서 판단을 해야하는 부분을 확대해서 그린다. (돋보기 처럼)

2. 최대한 정수 격좌를 표시하여 그림을 정확하게 그리도록 한다. 

 

예를들어 0 < x < 2 구간에서 대소 관계를 판단해야 하는 문제라면 다음과 같이 그려야 합니다.

 

[대소 관계 추론형 문제 - 그래프를 잘 그리는 방법]

- 굳이 이렇게 까지 그려야 하나요? - 라고 묻는다면

 

"네"

 

이렇게 그려야 문제가 쉽고 직관적으로 풀립니다.

 

문제에 한번 적용시켜 보면, 이렇게 그려야 하는 이유를 깨달을 수 있습니다.

 

 

2. 문제에 적용시키기

 

예시 1

[2021(나형) - 킬러 21번]

조금 어려운 문제일 수 있지만, 일단 그림을 한번 "잘" 그려봅시다!

 

1단계. 대충 그려보기

먼저 발로 그려본 뒤 문제가 발생하는 부분을 확대해서 그리면 좋습니다.

[대충 그려서 문제 발생지점 파악하기]

마치 망원경으로 행성을 관측할 때 대충 방위를 찾아놓고 파인더로 초점을 맞추듯이, 

그림을 러프하게 그려 놓고 "교점"등의 문제 발생 지점을 기반으로 그래프를 다시 그리면 됩니다.

 

위의 예시의 경우 -1 < x < 1 / 0 < y < 2 를 기준으로 그래프를 확대해서 그리면 될듯하군요

 

 

2단계. 잘 그리기

 

[그래프는 최대한 정확하게]

위 그림 처럼, 꼭 "정수격자"를 표시해서 그림을 그려야 합니다.

눈으로 보지말고 지금 한번 종이에 그림을 그려보세요.

정수격자를 표시해서 그리는 방법에 익숙해지고 자연스러워져야 실전에서 써먹을 수 있습니다.

 

3단계. ㄱ, ㄴ, ㄷ 추론하기

 

먼저 ㄱ 부터 살펴보겠습니다.

이러한 대소 비교 문제를 푸는 팁은, "주어진 대소 관계가 맞다고 가정하는 것" 입니다.

ㄱ이 맞다고 가정하면 그림에 1/2를 아래와 같이 표시할 수 있습니다.

 

[ㄱ.조건이 맞다고 가정하자]

그러면, 이때 아래와 같은 부등식이 성립해야 합니다.

[핵심 포인트]

그림을 보면 위 부등식을 왜 쓰는지 알 수 있습니다.

 

만약 위 부등식이 참이라면 -> 원래 가정도 참 -> ㄱ. (O)

만약 위 부등식이 거짓이라면 -> 원래 가정도 거짓 -> ㄱ. (X)

 

계산 해보면,

따라서, ㄱ 선지는 맞다고 판단할 수 있습니다.

 

 

다음으로, ㄴ을 살펴보면 

위 식을 그대로 해석하는 것보다 "변형"을 해서 우리가 해석하기 쉬운 형태로 꼴을 바꿔야 합니다.

이때는 크게 두 가지 선택지가 있는데, 1. 기울기(평균 변화율)로 해석하기 2. 넓이로 해석하기

 

이때 선지의 형태에 따라 기울기로 볼 것인지 넓이로 볼 것인지 판단해야 합니다.

위 ㄴ선지 같은 경우는 무조건 "기울기"로 보아야 합니다.

왜냐하면,

너무나도 분명하게 평균변화율의 형태를 띠고 있기 때문입니다.

(즉, 위와 같이 부등식을 변형하고자 하는 생각 자체가 실력이므로 많은 경험이 필요합니다.)

 

따라서, 이 사실관계를 그래프에 그려서 판단해보면

 초록 직선이 (x1, y1) <-> (x2, y2) 사이의 평균변화율(기울기)에 해당합니다.

그러므로, 초록 직선의 기울기가 1보다 큰지 작은지만 판단하면 되는데

위 그림에서 핑크 직선이 기울기가 1인 직선입니다.

초록 직선의 기울기가 핑크 직선보다 완만하므로(작으므로), ㄴ 선지 또한 참이 됩니다.

 

마지막으로 ㄷ 선지를 관찰해 봅시다.

ㄷ 선지는 ㄱ, ㄴ에 비하여 난이도가 좀 있는데 일단은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 추론형 문제의 특성상

ㄷ선지는 ㄱ, ㄴ선지와 관련있을 가능성이 높습니다.

 

따라서, ㄱ선지를 기반으로 ㄷ선지를 보면 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

이를 기반으로, ㄷ이 맞다고 가정했을 때 y1의 범위는 다음과 같아야 합니다.

즉, 이제 우리는 다음과 같은 사실관계를 판단해야 합니다.

먼저 

부터 판단해보면, 꽤 쉽게 참이라는 것을 바로 알 수 있습니다.

이제, 다음과 같은 대소 관계를 판단하면 됩니다.

위 부등식이 참이라고 가정해보면 그래프 위에 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

그런데, 이때 위 그림이 참인지에 대한 대소 비교가 어려우므로 

다른 방법을 생각해야 합니다.

 

우리는 지금 아래식이 참임을 보이면 되는것인데

모두 지수함수의 위의 좌표이므로, 지수법칙을 떠올려서 다음과 같은 식을 쓸 수 있습니다.

이때 우리가 그린 그림을 살펴보면

 

x1+x2는 자명하게 음수임을 알 수 있습니다.

 

따라서, 모든 사실관계가 참이므로 ㄷ선지 또한 참이 되어 

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳기 때문에 답은 5번이 됩니다.

 

문제의 볼륨이 꽤 커서 중간에 놓치셨을 수도 있다고 생각됩니다.

아래는 지금까지의 사고방식을 간략히 정리해둔 요약본이니 한번 읽어보고,

이해가 안되는 부분은 다시 위로 스크롤하여 읽어보시기 바랍니다.

 

[문제 요약]

 

자, 이제 두 번째 예시는 처음에 보여드렸던 교과서 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

예시 2

[출처 : 지학사 교과서]

 

 

1단계.  조건 해석하기

일단, 위와 같은 조건을 알아낼 수 있습니다.

 

 

2단계. ㄱ, ㄴ, ㄷ 선지 추론하기

위와 같은 ㄱ 선지를  맞다고 가정할 경우, 0 < a < 1 이므로 다음을 만족해야 합니다.

 

그런데, 문제 조건에서 a < b 이므로 ㄱ은 틀렸습니다.

 

다음으로 ㄴ을 봅시다. 

그림을 그려보면,

 

0 < a < 1 이므로 감소함수인 y = log_a(x)를 그릴 수 있습니다.

이때, 해당 로그함수가 (a, 1)을 지나고, a < b인 사실관계를 이용하면 ㄴ이 참이라는 사실을 쉽게 알 수 있습니다.

(즉, log_a(b)를 y = log_a(x)에서 x = b 일때 y값으로 보자는 것입니다.)

 

마지막으로 ㄷ의 경우

이므로, y = log_(b+1)(x) 그래프를 그려야 합니다

[우리가 그려야 하는 그래프]

이때, b > 0 -> b > 1 이므로 증가하는 로그함수를 그려보면

위 그림과 같고, 0 < a < 1 에서  1 < a+1 이므로 x = a, x = a+1 인 두 점을 그래프 위에 표시해보면

 

부호가 반대 이므로 아래 부등식이 성립함을 알 수 있습니다.

따라서, ㄴ, ㄷ이 참이므로 답은 4번이 됩니다.

 

 

이번 시간 내용은 조금 어려웠으리라 생각됩니다.

관련 문제는 <고2 자이스토리 C 9~110번대>에 많으니, 공부하실 분은 참고하시면 될 것 같습니다.

 

다음 시간에는 내신형 문제로 자주 등장하는

 

<지수 방부등식>을 같이 공부해봅시다~