[수학 1 실전 개념] 9강 : 지수/로그 함수 그래프 (4) - 스킬) 선분의 길이에 대한 마인드 + 종합적 사고

안녕하세요, 밤샘공부 입니다~

 

질문 사항은

아래 오픈챗 링크 혹은 메일로 보내주시면,

2시간 이내로 답변드리겠습니다.

 

오픈챗 링크 :  https://open.kakao.com/o/srASNxef

메일 주소 : studying.all.night.1114@gmail.com

 

 

오늘 같이 알아볼 내용은

지수/로그 함수 문제풀이에 자주 등장하는

< 선분의 길이와 직선의 기울기 >에 대하여 알아보겠습니다~

 

 

 

0. 대표문제

[문제 1]

[문제 2]

[문제 3]

문제가 좀 많죠? ㅎㅎ

 

오늘 다룰 부분이 개념적이라기 보단

문제풀이 스킬에 가깝기에 "체화시키는 것"이 중요합니다.

'체화'시키려면 그만큼 다양한 문제를 다각도에서 접해보아야 하구요.

그렇기에 머리가 조금 아프더라도 고민하는 연습이 필요합니다.

 

차근차근 작은 것 부터 논리를 쌓아나가 보죠.

 

 

 

 

1. 직선의 기울기와 직각삼각형

 

직선의 기울기와 직각삼각형은 결국 같은 말입니다.

처음듣는 이야기라고 생각할수도 있지만, 우리는 이미 배웠습니다!

 

직선의 기울기에 대한 정의가 무엇이죠?

 

[직선의 기울기에 대한 정의]

 

여기서 직각삼각형을 발견하셨나요?

아직인가 보군요.. 그럼 예시를 한번 들어보죠

 

[예]

 

직선의 기울기를 구해볼까요?

이제 직각삼각형이 보이시나요?

 

아직도..?

 

조금만 더 고민해보면 직각삼각형을 발견할 수 있습니다.

 

그림을 한번 그려보죠.

 

[직각삼각형]

이제 확실히 보이시나요?

 

결국 직선의 기울기라는 것은 직각삼각형에서 (높이)/(밑변)과 같습니다.

 

즉, 이번 시간에 우리가 얻어가야할 점은 다음 그림을 "완벽하게 체화시키는 것" 입니다

[기울기 - 직각삼각형]

하나하나 뜯어보면 당연한 이야기이지만,

이러한 정보를 문제에서 마주쳤을 때 문제풀이를 위한 도구로 활용할 줄 알아야 합니다.

 

직선에 대한 아이디어를 조금 더 확장해서 적용을 해볼까요?

 

 

 

 

2. 적용 연습

먼저 아래 예시를 보실까요?

[매우 기본적이지만 중요한 예]

직선의 기울기가 2로 주어졌으니 이를 이용하면, 다음과 같은 직각삼각형을 머리속에서 무.조.건. 떠올려야 합니다.

[기울기를 보고 바로 떠올려야 하는 이미지]

기울기가 2라고 했으므로, 위와 같은 이미지를 상상하고 있어야 합니다.

따라서 A, B의 x좌표 차이가 3이라는 이야기는 곧 위의 직각삼각형에서 밑변의 길이를 3이라고 정해준 것이죠.

 

이때 나머지 두변의 길이를 어떻게 구할 수 있을까요?

 

당연히

 

앞에서 생각해둔 직각삼각형의 비율관계를 이용하면 바로 구해낼 수 있습니다.

 

 

즉, 실제 문제 조건의 직각삼각형의 높이는 6이 되는 것이죠.

 

따라서 최종 그림은 다음과 같습니다.

 

[정답]

결론은, 복잡하게 미지수를 잡고 연립해야 하는 문제가 아닌

"직각삼각형의 비율관계를 기하적으로 판단하는 문제"라는 것이죠.

 

꼭!! 위의 그림을 스스로 그릴줄 알아야 합니다. (문제에서 친절히 그려주진 않으니까요!)

 

아래 2가지 예시를 직접 풀어보시고, 

답에 대한 확신이 없으시면 메일이나 오픈챗으로 편하게 질문 바랍니다

 

[연습해보기 - 1]

[연습해보기 - 2]

 

 

3. 실제 문제 활용

 

이제 맨 처음 봤던 문제들을 같이 살펴 봅시다~

 

[문제 1]

문제를 차근차근 분석해보죠

[우리가 반응해야할 키워드]

우리는 위의 문제에서 크게 2가지 정보에 반응해야 합니다.

 

[첫 번째 키워드]

"직선의 기울기가 주어졌네? 그런데 선분의 길이 까지?"

 

아! 직각삼각형을 그려야 겠군

 

[직각삼각형의 비율 관계]

일단 위의 정보까지 해석해두고, 두번째로 반응해야 할 키워드를 보겠습니다.

 

[두 번째 키워드]

얼핏 보면 그냥 서로다른 두 로그함수 아닌가? 하고 넘길 수 있지만,

우리는 두 로그함수의 밑이 2로 같으므로 "모종의 관계가 있지 않을까?"하는 의심을 필연적으로 해야합니다.

 

실제로

[사실 평행이동 관게 였다]

두 로그함수는 평행이동 관계에 있죠.

 

그러므로! 이 두가지 정보를 종합적으로 해석하면,

굳이 식을 복잡하게 연립하지 않아도 기하적으로 깔끔한 풀이가 완성 됩니다.

 

[답은 6]

사실, 위의 그림 처럼 식 하나 없이 문제를 풀려면 한 가지 사실을 더 알고 있어야 합니다.

 

바로 x축 방향으로 평행이동 되지 않은 로그 함수는

 

x값 -> "등비수열"

y값 -> "등차수열"

 

을 만족한다는 사실입니다.

 

그러므로, 다음과 같은 상황에서 A의 좌표는 필연적으로 4가 되는 것이죠.

 

이해가 잘 안된다면, A의 x좌표를 t라고 생각해봅시다.

이때, B의 y좌표는 A의 y좌표보다 1 크기 때문에

B의 x좌표는 A의 x좌표의 2배가 되어야 합니다. (밑이 현재 2이므로)

그러므로, B의 x좌표는 2t가 될 것이고 2t-t=4가 되어서 A의 x좌표는 4가 됩니다.

 

아래와 같은 상황이면 어떨까요?

 

마찬가지로 A의 x좌표를 t라고 해봅시다.

이때, B의 y좌표는 A의 y좌표보다 2 크기 때문에

B의 x좌표는 A의 x좌표의 4배가 되어야 합니다. (밑이 현재 2이므로)

그러므로, B의 x좌표는 4t가 될 것이고 4t-t=6가 되어서 A의 x좌표는 2가 됩니다.

 

마지막으로 밑이 3인 로그라면 어떨까요?

마찬가지로 A의 x좌표를 t라고 해봅시다.

이때, B의 y좌표는 A의 y좌표보다 1 크기 때문에

B의 x좌표는 A의 x좌표의 3배가 되어야 합니다. (밑이 현재 3이므로)

그러므로, B의 x좌표는 3t가 될 것이고 3t-t=4가 되어서 A의 x좌표는 2가 됩니다.

 

*주의 x축으로 평행이동한 로그함수의 경우 위의 사실관계가 성립하지 않습니다. (단, y축 평행이동은 괜찮습니다.)

 

따라서 아까 해결한 문제를 다시가져와서 보면, 

[답은 6]

A x좌표가 4임을 바로 알 수 있고, 그에 따라 A의 y좌표는 3이 됩니다.

 

이제 다음 문제로 넘어가 봅시다.

[문제 2]

마찬가지로 키워드를 표시해서 조건을 뽑아봅시다.

"역함수"라는 사실이 제일 중요해 보입니다.

지난 강의에서 자세히 설명드린 대로 "역함수 -> y = x 대칭"임이 바로 떠올라야 합니다.

따라서, y = x를 그림위에 표시해보면

 

위와 같은 기하적 관계를 생각해줄 수 있고, 삼각형의 넓이를 이용해서 A의 좌표를 구할 생각을 해야합니다.

이때 C(1, 0)이므로, B(0, 1)을 알 수 있고 이에 따라 BC의 길이를 구할 수 있습니다. (BC기울기 : -1)

 

삼각형의 넓이를 이용한 위의 관계식(파란글씨)에서 AH의 길이를 구할 수 있습니다.

이때 AH의 길이를 이용하면 y = x 직선 위에 우리가 배웠던 직각삼각형을 그릴 수 있습니다.

 

꼭, 직접 그림을 그리고 비율관계를 표시하면서 A의 좌표를 스스로 도출해낼 줄 알아야 합니다.

이후 A(3, 3)과 B(0, 1)을 로그함수 식에 대입하여 연립하면 a, b를 구할 수 있습니다.

 

[계산 마무리 - 답 2]

 

 

자, 이제 마지막으로 3번째 문제를 풀고 이번 시간을 끝마치도록 합시다.

[문제 3]

앞선, 두 문제와 달리 그림이 그려져 있지 않습니다.

그러므로 식으로 풀라는 이야기 일까요?

"그럴리가요, 직접 그림을 그려야 합니다!"

 

그전에, 문제풀이 키워드부터 파악을 해봅시다.

 

뭔가 익숙하지 않나요? 그렇습니다. 문제 1과 조건 형태가 매우 유사함을 알 수 있습니다.

2개의 지수함수 먼저 분석하도록 하겠습니다.

 

[선대칭의 재발견]

위 내용이 조금 어려울 수 있으나 엄~~청나게 중요하므로 꼭 이해하고 넘어가도록 합시다.

(이번 문제풀이에선 안 쓰이긴 합니다만..)

 

아래 두번째 키워드는 이제 익숙할 것 같네요.

 

위 두가지 키워드들을 합쳐서 그림에 표시해보면, 아래와 같습니다.

 

구해야하는 것이 A의 x좌표이므로, 기하적으로 마무리하기는 조금 어려워 보입니다.

따라서 기하적으로 판단한 부분들을 수식으로 옮겨서 계산으로 마무리하면 될 것 같습니다.

특히, 아래와 같은 방법이 매우 자주 쓰입니다.

 

1단계. A의 좌표를 미지수로 표현한다.

2단계. A의 좌표를 이용하여 B의 좌표를 미지수로 표현한다. (직각삼각형 이용)

3단계. B의 좌표를 지수식에 대입하여 미지수를 구한다.

 

이를 적용해서 문제를 풀어보면 다음과 같은 식들을 쓸 수 있습니다.

[계산 - 답 4번]

오늘은 <스킬 - 직선의 기울기와 선분의 길이>에 대해 알아보았습니다.

다음 시간에는 지수/로그 함수에 대한 마지막 내용으로, "지수/로그 함수의 대소 비교 - 추론형 문제"에 대해 공부해봅시다.