[수학 1 실전 개념] 8강 : 지수/로그 함수 그래프 (3) - 역함수

 

안녕하세요, 밤샘공부 입니다~

 

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오늘 같이 알아볼 내용은

지수/로그 함수의 핵심이라고 볼 수 있는

역함수 관계에 대하여 알아보겠습니다~

 

0. 대표 문제

[2022 6월 학평]

위 문제는 역함수의 대칭관계에 대한

사실관계를 명확하게 묻고 있는 질문입니다.

 

제 수업을 듣는 학생이라면, 슬슬 눈으로도 풀리지 않을까 생각합니다 ㅎㅎ..

 

고민해보시고, 아래 실전 개념들을 같이 학습한뒤

마지막 해설을 참고하시면 될듯 합니다~

 

 

 

1. 역함수의 대수적 의미

 

(1) 역함수의 정의

 

역함수가 존재하기 위해서는 

일대일 대응이라는 전제 조건이 필요합니다.

(다만, 모든 지수/로그 함수는 이미 일대일 대응이므로

굳이 복잡하게 생각하실 필요 없습니다)

 

[역함수의 정의]

위의 사진 처럼 원래 함수 f 에서 

정의역 -> 치역의 대응 관계가 반전 되었을 때

반전된 함수 f-1를 f의 역함수라고 정의합니다.

 

즉,

[역함수는 대응 관계다]

서로가 서로의 역함수가 되는 것이죠.

 

사실 위와 같은 정의는 매우 피상적이고

실제 문제에 적용하기 어렵기 때문에 다음과 같이 알고 계시면 속 편합니다

[당당않 제 12식 - 자세한 내용은 글씨를 클릭해주세요!]

역함수의 정의는 고1 수학 내용이기에 

이정도만 설명하고 넘어가도록 하겠습니다.

 

아래 지수 함수에서 예를 들어 설명하니, 

굳이 역함수의 정의를 추가로 찾아보지는 않으셔도 됩니다

 

 

(2) 지수 함수와 로그 함수는 서로 역함수 관계

 

자 그럼 이제

아래 지수함수의 역함수를 한번 구해볼까요?

[기본적인 지수함수]

<지수/로그 함수의 역함수 구하는 방법> 

1단계. x에는 y를 대입하고, y에는 x를 대입한다.

2단계. 로그 or 지수의 정의를 이용하여 y에 대해 정리한다.

 

[지수함수의 역함수는 로그함수다]

따라서, 다음 두 함수는 서로 역함수 관계에 있습니다

 

이러한 역함수 관계를 기하적으로 비교해보면 어떤 특징이 있을까요?

 

 

 

 

 

2. 역함수의 기하적 의미 (중요!!)

 

어떤 두 함수가 서로 역함수 관계에 있다는 것은

서로 y = x 대칭임을 의미합니다.

[역함수 <=> y = x 대칭]

 

이를 이용하면, 다음과 같은 비율관계 또한 발견해낼 수 있습니다

 

[역함수의 1:1 비율 관계]

또한, 초록색 직선의 기울기가 모두 -1 임을 알 수 있습니다

 

지수/로그 함수의 기본적인 역함수를

대수적&기하적으로 해석해 보았으니

이제 평행이동 된 지수/로그 함수의 역함수에 대해 알아봅시다

 

 

 

3. 역함수와 평행이동

 

(1) 평행이동 - 대수적 해석

 

결론 부터 보여드리자면,

[평행이동 된 지수/로그 함수의 역함수]

위와 같은 사실관계를 확인할 수 있으며

그 이유는 다음과 같습니다

 

[역함수 - 평행이동된 함수의 해석]

평행이동 하기전의 함수를 f(x)라 하고,

f(x)의 역함수를 g(x)라 할 때

 

f를 x축의 방향으로 +m 만큼, y축의 방향으로 +n 만큼 평행이동 됐다면

그 역함수 g는 x축의 방향으로 +n 만큼, y축의 방향으로 +m 만큼 평행이동 된 것입니다

 

예를 들어,

 

라고 한다면 평행이동하기 전인 y = 2^x를 떠올리고

 

이때 평행이동 관계는

x 축 방향으로 +3

y 축 방향으로 -1 

이므로

 

역함수는 y = log_2(x) 그래프를

x 축방향으로 -1

y 축방향으로 +3

평행이동된 함수이므로

위 함수가 답이 됩니다.

 

이를 기하적으로 해석할 경우

 

 

 

(2) 평행이동 - 기하적 해석

 

기본적으로 역함수는 무조건 y = x 대칭이므로

평행이동된 함수의 역함수 또한 서로 y = x 대칭임은 변하지 않습니다.

[평행이동 - 여전히 y = x 대칭]

그러나,

 

평행이동 된 함수의 역함수가 아닌

역함수가 평행이동 된 경우는 상황이 다릅니다.

 

예를 들어

 

[역함수가 평행이동 된 경우]

 

다음 두 함수는 더 이상 역함수 관계가 아닙니다.

[역함수는 아닌 관계]

정확히는 원래 역함수 관계 였던 함수들이 평행이동 된 것이라 볼 수 있죠.

 

따라서, 대칭선인 y = x도 같이 평행이동 됩니다!

 

다음과 같은 사실을 알고 있기 떄문이죠

[역함수의 평행이동]

 

이제 슬슬 감이 잡히시리라 생각되니

관련 문제들을 많이 풀어보시고 경험해보시기를 바랍니다~

 

 

4. 문제 해설

[2022 6월 학평]

먼저, 대칭선 y = x를 그리고 

기하적으로 모든 비율관계를 표시해보면

 

1단계. y = x 와 y = -x+5 의 교점을 구한다.

2단계. AB = 2k, BC = k 라 할 때, 직선과 평행이동 관계를 이용하여 k 값을 구한다.

 

 

3단계. 구한 k값을 이용하여 A의 좌표를 구한다.

4단계. A의 좌표를 지수함수 식에 대입하여 답을 구한다.

 

오늘 내용은 여기까지구요

 

다음 시간에는

 

지수/로그 함수 그래프 (4) - <심화내용 : 선대칭과 점대칭>으로 찾아뵙겠습니다