[수학 1 실전 개념] 11강 : 지수 방부등식 - 치환 (범위에 유의하기)

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0. 대표 문제

지수 방부등식 문제에서 대표적으로 잘 나오는 유형입니다.

치환의 개념을 명확히 알고 있는지 묻는 문제이기도 하죠. 개념부터 살펴봅시다.

 

 

 

1. 치환

(1) 치환을 하게되는 상황

보통 치환이라 함은, 비슷한 형태의 식이 반복될 때 계산의 편의를 위해 취하는 수학적 방법론입니다.

즉, 아래와 같은 상황일 때 치환을 많이 하게 됩니다.

따라서 각각을 t에 대하여 좀 더 간단히 나타낼 수 있습니다.

[첫 번째 예시]

[두 번째 예시]

[세 번째 예시]

이렇게 단순히 치환만 해도 된다면, 치환해야하는 문제들이 꽤 싶게 풀리겠지만

실상은 "범위체크"가 매우 중요 합니다.

 

 

(2) 치환할 때 유의 해야하는 것 - 범위

 

위에서 x값은 기본적으로 실수전체라고 가정하면,

 

[x : 실수전체 일 때]

 

x의 범위가 실수 전체임에도 불구하고

t의 범위는 실수 전체가 아니므로 치환할 때는 항상 범위에 유의해야 합니다. 

 

위의 범위에 대해 조금 첨언하자면,

 

[첫번째 예시에서 t > 0 인 이유]

[두번째 예시에서 t >= 2 인 이유]

[세 번째 예시에서 t의 범위가 실수 전체인 이유]

 

따라서 위 각각의 이유 때문에, 치환을 하고나면 아래와 같이 범위를 꼭 잡아야 합니다.

[x : 실수전체 일 때]

 

다만, 이는 x의 범위가 실수전체이므로

만약 문제에서 x의 범위를 주었다면, t의 범위는 이를 이용하여 그때 그때 새롭게 판단해야 합니다.

 

예를 들어,

위와 같은 식에서 치환을 해야 한다면, 단순히 t > 0 이 아니라

[치환 시에는 항상 범위에 유의하자]

와 같이 t > 1로 치환해야 합니다. 그 이유는 아래와 같이 정의역-치역의 개념으로 이해할 수 있습니다.

[x>0 => t>1인 이유]

이처럼, 치환을 할 때는 단순히 치환을 했으니 뿌듯해할 것이 아니라

꼭 범위를 체크해주어야 합니다..!!!

 

 

 

2. 치환 뒤 이차 방정식의 실근을 다루는 방법

처음에 보여드린 문제에서, 치환을 한 뒤에는 방부등식의 실근에 대한 조건을 적용해야 합니다.

이때 기본적으로는 "그때그때 그래프를 그려서 판단" 해야 합니다.

그림을 그린 뒤 쓸 수 있는 디테일한 조건들은 다음과 같습니다.

 

(1) 판별식 + 근과 계수의 관게

(2) 판별식 + 축과 절편의 위치

(3) 그래프의 교점으로 해석 

 

먼저, 판별식 + 근과 계수의 관계를 쓰는 경우를 보도록 하겠습니다.

(물론, 한 문제가 여러가지 방법으로 풀리는 경우가 많으니, 꼭 이 문제는 이 방법으로 풀어야 한다! 라고 생각하지 않아도 됩니다)

 

 

(1) 판별식 + 근과 계수의 관계를 쓰는 경우

앞에서 배웠던 대로 치환 부터 해보겠습니다.

이후 방정식 or 부등식을 그래프를 그려서 해석해야 합니다.

즉

이때 주어진 이차 함수의 경우 t=2에서 축을 가집니다. (축이 t=2임을 발견하는 것이 실력!)

따라서, 아래와 같이 크게 3가지 그래프를 그릴 수 있습니다.

[축은 고정 -> k의 값에 따라 함수가 위아래로 움직인다]

이때 서로다른 실근이 2개가 존재해야 하므로, 첫번째 두번째 그래프는 제외하고

세번째 그래프가 정답의 조건이 됩니다.

 

그런데 이때, 세 번째 그래프의 경우를 아래와 같이 2가지로 분류할 수 있습니다.

이때, 좌측 그래프는 두 근 모두 양수이므로 문제 조건에 부합하지만

우측 그래프는 한 근이 음수이므로 문제 조건을 만족시키지 못하게 됩니다.

 

따라서, 다음과 같이 판별식+근과계수의 관계에 대한 부등식을 쓸 수 있습니다.

이때 요지는 "그래프를 그려서 유연하게 사고" 할 수 있어야 합니다. 

 

따라서, 답은 k = -1, 1 일 때 총 2개가 됩니다.

 

 

 

(2) 판별식 + 축과 절편의 위치를 쓰는 경우

이 문제 또한, 마찬가지로 치환 먼저 해주도록 하겠습니다. 

이후 해당 부등식을 그래프로 해석해야 합니다. (t>0)

 

이를 기반으로 두 가지 그래프를 그려볼 수 있습니다.

즉, 판별식이 0이하인 경우에는 무조건 부등식을 만족합니다.

또한 판별식이 0보다 크더라도 양수 범위에서 함숫값이 0이상이기만 하면 되므로, 

위 그림 처럼 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

따라서

a의 범위는 5 이하가 됩니다.

 

마지막으로, 그래프의 교점으로만 해석해서 대표문제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

(3) 그래프의 교점으로 해석

먼저, 치환을 해봅시다.

 

즉 t>0인 범위에서

먼저 이차함수를 그래프로 그려보면

위의 그래프가 됩니다. 이때, y = k-2를 그을 수 있는 경우가 3가지 있는데

문제 조건에 의하여 t > 0 인 범위에서 이차함수의 그래프가 직선의 그래프 보다 위에 있어야 합니다.

따라서, (1)은 안되고 (2), (3)의 경우가 문제 조건에 부합합니다.

(이때 2번 케이스가 되는 이유는, t > 0 일 때 그래프가 위에 있으면 되므로 t = 0일 때 그래프가 같은 것은 상관 없습니다)

 

그러므로

[답 : 최댓값 2]

 

 

오늘은 지수 방부등식 - 치환에 대해 자세히 다루었습니다.

다음 시간에는 로그 방부등식 - 최대/최소에 대하여 다루도록 하겠습니다.

(지수 방부등식 - 최대/최소 및 로그 방부등식 - 치환의 경우는 직접 공부해보시길 권장드립니다.)