[수학 1 실전 개념] 1강 : 거듭제곱근의 정의

안녕하세요,

필수 유형에 대한

실전 개념 정리 입니다~

 

질문 사항은

아래 오픈챗 링크 혹은 메일로 보내주시면,

2시간 이내로 답변드리겠습니다.

 

오픈챗 링크 :  https://open.kakao.com/o/sdqZK0bf

메일 주소 : studying.all.night.1114@gmail.com

 

0. 대표 문제

 

<1분 정도 고민해주세요!> - 그간 배웠던 개념을 떠올리면 좋습니다

 

[거듭제곱근의 정의 - 대표유형]

    ㄱ 에서 처음에 함정에 걸렸을 수도 있고,

    ㄷ 은 표현이 어색한 것 같기도 하고

    ㄹ 은 맞는 것 같고

    ㅁ 은 당연하게 느껴질 것입니다

 

다만, 수학은 항상 의심하고 또 의심해야 합니다.

위 문제에 유의하며 개념 정리하러 가봅시다! (답은, 마지막에 해설해 드립니다.)

 

 

1. 거듭제곱근 이란?

 

 "거듭제곱근"은 "거듭제곱" + "근" 의 합성어 입니다.

 즉, "여러번 곱한 것"과 관련된 "방정식의 근"의 의미를 내포하고 있죠.

 이를 좀 풀어서 설명하면 다음과 같습니다.

 

[a의 n제곱근의 의미]

(단, a는 실수이고 n은 2이상의 자연수)

 

 즉, "8의 세제곱근"이라고 하면

[8의 세제곱근의 의미]

 

위 내용이 8의 세제곱근의 의미가 됩니다.

 

8의 세제곱근의 값은 얼마인가요?

위에서 생각해둔 의미에 의해서

아래 방정식을 풀어주면 됩니다.

[거듭제곱 방정식의 해]

이때 실수 범위에서 1개,

복소수 범위에서 2개의 근이 나오므로

총 3개의 근이 존재함을 알 수 있습니다.

 

 

a의 n제곱근은 무조건 n개라고 볼 수 있는데

이는 아래와 같은 사실이 알려져 있기 때문입니다.

 

 

a의 n제곱근을 "복소수 범위"에서 볼 때 성립하는 것이고,

일반적으로 고등학교 수1에서는 a의 n제곱근을

"실수 범위"에서만 살펴 봅니다. 실수 범위에서는

a의 n제곱근에 대해 그래프를 그려 해석할 수 있습니다.

 

 

2. 거듭제곱근 중 실수인 것

 

a의 n제곱근 중 실수인 것을 구하기 위해

다음 내용을 알고 있어야 합니다.

 

즉, a의 n제곱근 중 실수를 구할 때는

식을 보고 계산하는 것이 아니라

다음과 같이 기하적(그래프) 관점에서 해석해야 합니다.

 

[거듭제곱근 중 실수인 것]

 

이 때 n이 짝수인지 홀수인지에 따라

=> y축 대칭(우함수)과 원점 대칭(기함수)이 정해지고

 

a의 부호(+, 0, -)에 따라

=> 교점의 개수 및 위치가 달라지게 됩니다.

 

 

따라서  다음 표 처럼 총 6가지 종류가 나오게 됩니다.

[거듭제곱근 중 실수인 것 - 그래프 해석]

 

우리가 주의 해야할 건

n이 짝수일 때 a가 음수일 수 없다는 사실 입니다.

 

즉, 아래와 같이 쓰는 것은

실수범위에서 표기 자체가 불가능 합니다.

[잘못된 표기]

 

이를 정리하면

[거듭제곱근 중 실수인 것 - 수식적 해석]

 

 

3. 문제 해설

 

[거듭제곱근의 정의 - 대표유형]

 

  ㄱ. -8의 제곱근은 2개이다. (O)

    => 실수라는 말이 없으므로,

           복소수 범위까지 생각해 주면

          2개가 됩니다.

 

ㄴ. 5의 세제곱근 중 실수는 1개이다. (O)

    => 범위가 실수이므로,

         그래프를 그려보면

          n이 홀수, a가 양수에서 한 점에서 만난다.

 

ㄷ. 네제곱근 16중 실수는 +2, -2 이다. (X) 

    => 16의 네제곱근과 달리

          네제곱근 16은 계산식입니다.

          (즉, 네제곱근 16 = 2)

 

ㄹ. a의 n제곱근 중 실수의 개수가 1개라면, n은 홀수이다. (X)

    => n이 짝수이며, a가 0일 때 또한, 1개 존재합니다.

 

ㅁ. (X) 

    => 아래와 같은 반례가 존재합니다.

[반례]

 

 따라서, ㄱ, ㄴ 총 2개가 답이 됩니다.