[수학 1 실전 개념] 15강 : 삼각함수의 각변환 <예각가정법>

[실전개념 삼각함수의 계산]

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1. 대표 문제

[마플 시너지 발췌]

 저번 강의를 열심히 들었다면, 위 문제에서 직선의 방정식을 보고 삼각함수의 정의를 이용하면 되겠군. 이라는 생각을 할 수 있습니다. 즉, 위 문제에서 직선은 각의 크기를 나타내는 동경의 역할은 하고 있습니다. 이때 sin / cos / tan 값을 구할 수 있으나, 문제에서 요구하는 답안은 단순히 세타에 대한 값이 아니라 세타에 이것저것 더하고 빼져 있습니다. 이를 <예각가정법>을 이용하여 해결할 수 있습니다.

 문제 해설은 강의 하단에 나와있으며, 일단은 <예각가정법>에 대하여 같이 살펴보도록 합시다.

 

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2.  예각가정법

 

 (1) 기본적인 대칭성과 주기성 알기

  ① 원점 대칭, 그리고 y축 대칭.

   기본적으로 sin 함수는 '원점대칭', 즉 기함수 입니다. tan 함수도 마찬가지로 '원점대칭'인 기함수 이며 cos 함수의 경우 'y축 대칭'인 우함수 입니다. 따차서 수식적으로 다음 성질을 알 수 있습니다.

[sin cos tan 의 대칭성]

   예를 들어, 다음을 계산할 때는 복잡하게 생각할 필요 없이 sin과 tan는 '원점 대칭이므로 안쪽의 마이너스가 빠져 나올 수 있다' 라고 생각하면 편하고 cos은 'y축 대칭이므로 안쪽의 마이너스가 사라진다' 라고 생각하면 편합니다.

[대칭성 활용 예시]

 

 

  ② 주기성 활용하기.

    sin / cos / tan 는 각각 주기가 2pi / 2pi / pi 이므로 이를 활용해서 계산을 좀 더 간략하게 할 수 있습니다. 기본적으로 주기의 정의는 다음과 같으므로 sin / cos / tan 는 다음 식들을 만족합니다.

[주기의 정의와 삼각함수의 주기]

   이를 이용하면, 다음 예제들은 손쉽게 계산할 수 있습니다. 즉, "주기"를 자신의 입맛대로 더하거나 빼더라도 값은 변하지 않는다는 것이죠. 따라서 계산하기 편한 꼴로 바꾸면 계산을 수월하게 할 수 있습니다.

[주기성 활용 예시]

 

 

  ③ pi를 더한다는 것.

   앞서 배운 두가지(대칭성/주기성)에 더하여 예각가정법만 알아도 대부분의 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있으나 조금 더 빠른 풀이를 위하여 한가지만 더 알고가도록 합시다. 기본적으로 sin / cos 의 그래프를 머릿속으로 떠올려 본다면. 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다. 바로 sin 함수와 cos 함수의 경우 뚜껑 모양과 그릇 모양이 교대로 무한히 반복해서 나타난다는 사실이죠. 

[sin / cos 의 반복성]

   당연하게도 뚜겅 모양과 그릇 모양의 경우 상하 반전만 되었을 뿐 모양과 크기는 정확히 일치합니다. 따라서, 우리는 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

[pi 더할 시 부호반대]

   sin / cos 의 경우 pi 를 더한 값은 더하지 않은 값과 비교할 때 '절댓값은 같고 부호만 반대' 라는 사실을 알 수 있습니다. 당연하게도, tan 함수의 경우는 애초에 주기가 pi 이므로 pi를 몇번 더하든 같은 값을 가집니다. 결론적으로, sin / cos 을 계산할 때 위 사실관계를 적용하여 아래 예시를 쉽게 해결할 수 있습니다.

[pi를 더할시 예시]

 

 

 (2) 예각 가정법

  ① 예각 가정법

   이제 본격적으로 예각 가정법에 대해 알아보곘습니다. 예각 가정법은 크게 두 단계로 나뉘며 다음 두 사실관계만을 파악하면 됩니다. "1. 삼각함수가 바뀌는가?" "2. 부호는 어떻게 되는가?" 를 판단하면 됩니다. 먼저 삼각함수가 바뀌는가? 부터 살펴보도록 하겠습니다. 다음과 같은 근거를 기반으로 때 삼각함수가 바뀌는 지 바뀌지 않는 지 알 수 있습니다.

[삼각함수의 각변환 예각가정법 1단계]

   위 사실 관계로 삼각함수가 바뀌는 지, 바뀌지 않는 지 결정했다면 부호는 어떻게 되는가? 만 살펴보면 됩니다. 이는 기본적으로 세타를 예각이라 가정했을 때 원래 삼각함수의 부호가 어떻게 되는지를 바탕으로 결정하면 끝납니다. (이처럼 세타를 예각이라 가정하는 방법이므로 예각가정법이라 불립니다.)

 

 

  ② 예각 가정법 예시 (각변환)

   예시1) 호도법으로 표현된 삼각함수(값 구하는 경우)

 

   예시2) 호도법으로 표현된 삼각함수(식 변환하는 경우)

 

   예시3) 60분법으로 표현된 삼각함수

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3. 문제 풀이

   대표문제 풀이로 강의를 마무리 하도록 하겠습니다.

 

 (1) 대표문제 풀이

 

[마플 시너지 발췌]

  ① 조건 해석

   직선의 방정식을 동경이라고 생각할 때, sin / cos / tan 값을 알 수 있습니다. 이후 각변환을 적용해주면 답을 깔끔하게 구할 수 있습니다.

 

  ② 모범 답안

[모범 답안]

 

   오늘은 <삼각함수의 각변환 - 예각가정법>에 대하여 같이 공부해보았습니다. 다음 시간에는 <삼각함수의 기본 그래프 개형>에 대하여 공부하도록 하겠습니다.