일반 물리 요점정리 : 로렌츠 변환 유도

로렌츠 변환을 살펴보기 앞서

 

갈릴레이 변환을 알아보자.

 

위와 같이 S 기준계와 속도 v로 이동하는 S'계가 있을 때

S기준계에서 시간이 t일때 좌표 x인 곳에서 플래시가 번쩍였다고 하자.

 

이때 x와 x'의 관계, 그리고 t 와 t'의 관계를 구해보자.

 

갈릴레이 변환은 로렌츠 변환이 정립되기 이전에 쓰였다.

 

갈릴레이 변환은 다음과 같이 매우 직관적이다.

즉, 기준계 S 기준으로 위치 x, 시간 t 일때 발생한 사건을 기준계 S' 에서 본다면

 

기준계 S' 기준 사건 관측 위치  x', 시간 t'의 관계가 위와 같다는 것이다.

 

우리는 두 기준계에서 시간이 동일하게 흐르고 있음을 알 수 있다. (갈릴레이 변환 한정)

 

그러나 실제로 v의 값이 매우 크다면 (광속 c에 가깝다면)

 

위의 갈릴레이 변환은 광속 일정의 법칙에 위배 된다.

 

또한 두 기준계의 시간은 다르게 흘러가므로 특수 상대성 이론에 따라 갈릴레이 변환을 만족되지 않는다.

 

이에 로렌츠 변환을 도입하게 되었는데

 

상황은 가릴레이 변환과 동일하다.

먼저 다음과 같은 가정을 하자.

즉, t = t' = 0 일때 S와 S' 두 기준계의 원점이 일치한다고 가정하자.

 

그러면 아래 식들을 만족한다.

(1), (3) 식은 별다른 이견이 없을 것이다.

 

(2), (4) 식을 살펴보면

갈릴레이 변환에서 상수 k값을 임의로 도입한 것이다. (즉, 이제 k값을 찾아야한다.)

 

(2), (4) 식의 엄밀한 유도는 생략한다. (그리 중요하지 않다)

 

4가지식을 연립하면,

즉 여기서 k값을 우리는 로렌츠 인자로 정의한다.

 

따라서 로렌츠 변환의 결과는 다음과 같다.

매우중요 !! 암기 !!!!

이를 x와 t에 대하여 정리하면 다음과 같다.

뉴턴 역학을 대표하는 식이 뉴턴의 제 1법칙이라면

 

특수상대성이론을 대표하는 식은 로렌츠 변환이다.

 

다음 강의에서는 상대론적 상대속도를 살펴보자.