[기하 실전 개념 6강] 타원의 접선 총정리

안녕하세요, 밤샘공부 입니다~

 

질문 사항은

아래 오픈챗 링크 혹은 메일로 보내주시면,

2시간 이내로 답변드리겠습니다.

 

오픈챗 링크 :  https://open.kakao.com/o/srASNxef

메일 주소 : studying.all.night.1114@gmail.com

 

오늘도 여러분께 수학적 통찰을 주는 강의가 되었으면 합니다.

 

영상이 편하신 분은 아래 링크로 강의 보시면 됩니다.

 

영상강의 링크 : https://youtu.be/CKcASrxDYhI

 

학습지 파일 링크 : https://study-all-night.tistory.com/167

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[0] INTRO

본격적인 타원의 접선 강의에 앞서,

먼저 전체적인 내용을 훑어 보고 들어가겠습니다.

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1. 타원의 접선 공식

 

반드시 암기하셔야 합니다 !!

 

1) 기울기가 주어진 경우 / 기울기 m

 

2) 접점이 주어진 경우 / 접점(x1, y1)

*접점이 주어진 경우는 포물선, 타원, 쌍곡선의 공식이 동일 합니다.

 

 

*타원이 평행이동 되었을 경우

-> 평행이동 전 기본 형태를 기준으로 접선을 구한 뒤,

다시 접선을 평행이동해서 원상 복귀!

 

위 공식에 대한

자세한 증명은 아래에서 다룰 예정입니다.

 

 

 

2. 판별식 vs 기울기 공식 vs 접점 공식

 

타원의 접선 관련 문제를 풀다보면

조금 복잡한 타원의 접선 문제가 나왔을 때

 

1) 판별식 = 0 (이건 잘 안쓰긴 합니다)

2) 기울기 공식

3) 접점공식

 

중 무엇을 써야 문제가 간단히 풀릴지 고민을 해본 경험이 있을겁니다.

 

어떤 풀이를 선택하냐에 따라 풀이시간 차이가 꽤 크기에,

시험에서는 효율적인 선택이 요구됩니다.

 

따라서 아래 내용에서 여러 자세한 예시들을 다루며

언제 어떤 방법으로 풀어야 효율적인지 학습하도록 합시다.

 

 

 

3. 두 접선 서로 수직 / 극선의 방정식 

 

교육과정 외의 내용이긴 하지만,

알고 있으면 효율적인 풀이에 도움이 되기에

같이 학습하도록 합시다. (특히, 내신이라면 꼭 암기해주시면 좋습니다.)

 

1) 타원 밖에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때 특징

2) 극선의 방정식을 구하는 방법

 

위 두가지 내용에 대하여 학습한 후

관련 예제를 같이 하나 풀 예정입니다.

 

또한, 2) 극선의 방정식을 구하는 방법의 경우

는 다른 이차곡선에서도 성립하므로,

확실하게 공부해두시면 큰 도움 될겁니다.

 

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[1] 타원의 접선 공식

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0. 타원의 접선 공식의 핵심원리 KEY

 

결국 포물선 접선 공식의 유도 방식의 원리는

 

방법1. D = 0  

방법2. 음함수의 미분법

 

이 두가지에 기초합니다.

 

다만, 기하를 배우는 학생의 경우

아직 미적분 학습이 되어있지 않을 수 있기에

방법2는 몰라도 무방합니다.

 

또한, 방법1을 이용한 증명도

'시험을 잘 치기 위해서'

의 관점에서는 중요하지 않기에

 

공식은 정확히 암기하시고,

그에 대한 증명은 "판별식 = 0" 을 이용하는구나~!

라고만 알고 계시면 충분합니다.

 

따라서 예제 위주로 강의를 작성했습니다.

다음 공식을 완벽히 암기하신 후

아래 예제들을 풀어보시면 됩니다!

[타원의 접선 공식]

 

 

1. 기울기가 주어진 경우

[예제1 - 기울기가 주어진 경우]

 

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직접 풀고

풀이를 봐주세요

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[예제1 - 해설]

 

핵심 : 기울기가 주어졌으므로, 기울기 접선 공식을 쓴 후 조건 대입

 

 

2. 접점이 주어진 경우

[예제2 - 접점이 주어진 경우]

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직접 풀고

풀이를 봐주세요

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[예제2 - 해설]

 

핵심 : 접점이 주어졌으므로, 접점 접선 공식을 쓴 후 조건 대입

 

 

 

 

위의 두 예제를 직접 풀어보시면 아시겠지만,

접선 공식을 활용하는 기본적인 문제는 매우 쉽기에

수능 초반 3점 문제의 경우 공식만 잘 암기해도 쉽게 풀립니다.

 

 

 

[2] 기울기 공식 vs 접점 공식

다만 복잡한 타원의 접선 문제의 경우

기울기 접선 공식을 쓰냐, 접점 접선 공식을 쓰냐에 따라

풀이 시간이 차이가 나므로 공식 선택 자체가 중요하게 됩니다.

(*판별식을 쓰는 경우는 흔치 않기에 배제했습니다)

 

따라서 이번 내용에서는 다양한 예시들을 보며 선택의 기준을 확립해 봅시다.

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[비교 예시1] 2024학년도 10월 고3 기하 28번

 

다음 문제를 스스로 풀어보며,

'기울기 접선 공식' vs '접점 접선 공식' 중 무엇이 효율적인지

판단해 봅시다.

 

*처음에는 두가지 방법으로 모두 풀어본 뒤 비교하는 것이 제일 정확합니다!

[2024학년도 10월 고3 기하 28번]

 

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직접 풀고

풀이를 봐주세요

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1) 기울기 접선 공식으로 풀었을 때

정삼각형 조건을 해석해보면

쉽게 접선의 기울기가 나옵니다.

그러므로, 기울기 접선 공식을 쓰는게 자연스러운 풀이가 됩니다.

 

*이해하기 힘드시면 영상을 시청해주세요!

(영상 링크 : https://youtu.be/CKcASrxDYhI)

 

그렇다면 억지로 접점 접선 공식으로 풀면 어떨까요?

 

 

2) 접점 접선 공식으로 풀었을 때

 

기울기 공식을 썼을 때 보다,

미지수도 많고 복잡하죠?

 

이렇듯 접점의 좌표를 알기 어렵고

접선의 기울기가 명확히 주어진 상태에서는

기울기 접선 공식을 쓰는 것이 유리합니다.

 

자 그럼 다음 문제는 어떤 방법이 유리할지 스스로 먼저 풀어봅시다.

 

 

 

[비교 예시2] 2024학년도 4월 고3 기하 25번

[2024학년도 4월 고3 기하 25번]

 

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꼭 먼저 풀어보세요!

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1) 기울기 접선 공식으로 풀었을 때

 

기울기를 m이라 가정하고 접선 공식을 쓴 뒤,

Q(10, 0)을 대입하여 m을 구하는 것 까지는 좋았으나

 

중간에 P의 y좌표를 구해야하므로,

다시 접선과 타원을 연립해야 합니다.

 

이 과정이 꽤 복잡하기에

차라리 처음부터 P(x1, y1)이라 두고

풀었으면 더 좋지 않았을까 싶은 마음이 듭니다.

 

그렇다면 실제로 P(x1, y1)이라 두고 풀면 어떨까요?

 

2) 접점 접선 공식으로 풀었을 때

 

 

한눈에 봐도 기울기 접선 공식 보다

훨씬 간단한 풀이임을 알 수 있습니다.

 

*이해하기 힘드시면 영상을 시청해주세요!

(영상 링크 : https://youtu.be/CKcASrxDYhI)

 

따라서, "접점의 좌표가 필요한 경우에는

기울기 공식이 아니라 접점 공식을 쓰는 것이 좋아보입니다."

 

정리하자면

 

접선의 기울기가 대놓고 주어진 경우 -> 기울기 접선 공식

접점의 좌표가 문제풀이에 필요한 경우 -> 접점 접선 공식

 

을 기준으로 풀이방향을 선택하시면 되겠습니다!

 

 

[3] 두 접선의 수직 조건 / 극선의 방정식

 

이번 내용은 앞서 잠깐 설명한 대로

교육과정을 벗어날 수 있는 내용이기는 하지만

배경지식으로 알고 있으면 도움이 될 내용이기에 (특히 내신이라면)

한번 같이 살펴보도록 하겠습니다!

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1. 타원 밖에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때 

 

[타원 밖에서 그은 두 접선 수직]

 

위 그림처럼 타원에 그은 두 접선이 수직이 되도록 하는

점 P는 무수히 많을 것입니다.

 

그렇다면 이러한 점 P 들은 어떤 규칙을 따를까요?

점 P들의 집합이 어떠한 특정 도형이 되는 것은 아닐까요?

 

결론은 다음과 같습니다. (이유는 따로 증명하지 않겠습니다)

 

[타원 밖에서 그은 두 접선의 교점 - 원을 이룸]

 

즉, 반지름이 루트(a^2+b^2)인 원이 됩니다.

암기해 두시면 도움이 될겁니다.

 

이때, 반지름을 쉽게 암기하시려면 다음 그림을 참고하시면 될겁니다.

 

 

관련 예시는 뒤에서 같이 보도록 하겠습니다.

 

 

2. 극선의 방정식

 

다음 그림에서 빨간색 직선을 극선이라고 칭합니다.

 

타원의 방정식이 주어졌을 때 극선의 방정식을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

 

[타원 극선의 방정식 증명]

 

*과정이 이해가 안될경우 영상을 보시거나

아니면 그냥 넘어가도 무방합니다.

 

즉, 극선의 방정식은 접선의 방정식과 그 구조가 동일합니다.

 

그렇다면 다음의 간단한 극선의 방정식 예시 하나만 풀어볼까요?

 

 

 

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꼭 한번 풀어보세요

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<손글씨 해설>

 

 

 

 

오늘 6강에서는 타원과 접선 총정리에 대해 공부했습니다.

다음 7강에서는 쌍곡선에 대해 공부할 예정이며

 

학습지를 꼭 풀어보신 뒤 유튜브에 있는

해설 영상까지 보셔서 오늘 내용을 체화시키길 권장드립니다!

 

개념 영상 : https://youtu.be/CKcASrxDYhI

 

해설 영상 : https://youtu.be/2-eikffoQGU

 

 

그럼 다음 강의에서 뵙겠습니다. 화이팅!