[기하 실전 개념 7강] 쌍곡선의 방정식 총정리
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[기하 실전개념 학습지 파일 정리]
1강 : 포물선의 정의와 그래프 (https://youtu.be/QdL3pngaynQ) 2강 : 포물선의 초점을 지나는 직선 (https://youtu.be/U2Q5At9CNoU) 3강 : 포물선의 닮음 활용(https://youtu.be/Lx6sLpMK19g) 4강 : 포물선 접선 성질 총
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<7강 학습 목차>
[0] INTRO - 배울 내용
본격적인 쌍곡선 강의에 앞서,
먼저 전체적인 내용을 훑어 보고 들어가겠습니다.
1. 기본 형태
*배울 내용*
상하 쌍곡선 vs 좌우 쌍곡선
쌍곡선의 정의와 주축과의 관계
a, b, c 관계 쉽게 암기하는 법
1) 좌우 쌍곡선
일단, 제일 중요한건 쌍곡선의 정의를 암기하는 것입니다.
그 후에 아래와 같이 중심, 초점, 꼭짓점, 주축, 점근선 등을 논하면 됩니다.
또한 a, b, c 사이의 관계를 확실히 암기해야 하며,
이에 대한 자세한 내용은 아래에 있습니다.
2) 상하 쌍곡선
방정식에서 ' 1 ' -> ' -1 ' 로 바뀐 차이가 있습니다.
거리의 차가 2a가 아니라
2b 임에 주의해야 합니다.
마찬가지로 중심, 꼭짓점, 초점, 주축, 점근선을 찾을 수 있어야 하고
이때 초점/꼭짓점/주축이 아까와 다름에 주의해야 합니다.
a, b, c 관계는 좌우쌍곡선과 같으며
초점 사이의 거리 = 2c 또한 암기해주시면 좋습니다.
자세한 내용은 아래에서 다루겠습니다.
2. 평행이동 형태
평행이동시, 다음과 같은 사실을 받아들여야 합니다.
유지되는 것 : 주축의 길이 / 초점사이 거리 / a, b, c 값
바뀌는 것 : 중심, 초점, 꼭짓점, 점근선
(상상해보면 사실 당연합니다.)
1) 상하 쌍곡선
중심이 평행이동의 기준이라 생각하셔도 좋습니다.
ex) 중심(1, 3) 일 경우 -> x축으로 +1 / y축으로 +3 평행이동 된 것!
2) 상하 쌍곡선 과
자세한 값과 예제는 아래에서 다루겠습니다.
3. 쌍곡선의 정의 활용
결국, 기출에서는 "쌍곡선의 정의"를 활용해서 문제를 해결하는 문제가 핵심입니다.
따라서 다음과 같이 '정의를 활용하는 마인드셋'을 장착하면 쉽습니다.
1) 쌍곡선과 삼각형
2) 쌍곡선과 원
3) 쌍곡선과 쌍곡선
어떤 마인드셋인지는 아래 내용에서 본격적으로같이 공부해 봅시다.
[1] 기본형태
쉬운 내용이긴 하지만
생각할 때 편한 TIP 들을 알려드리곘습니다.
1. 좌우 쌍곡선 vs 상하 쌍곡선
사실 '좌우 쌍곡선' / '상하 쌍곡선' 용어는 실제 용어는 아니고
제가 그냥 외우기 편하시라고 붙인 용어이니 오해 없으시길 바랍니다 ㅎㅎ!
두 타원의 비교는 방정식 끝이 '1'이냐 '-1'이냐만 체크 하면 됩니다!
'=1' : 좌우 쌍곡선 -> *장축의 길이 = 2a
'=-1' : 상하 쌍곡선 -> *장축의 길이 = 2b
두 쌍곡선의 그림은 아래와 같으며
아래 4가지 요소의 차이에 집중하며 학습하면 좋습니다.
형광펜으로 칠해둔 부분이 달라지는 값이고
차례대로, 식 / 정의 / 초점 / 꼭짓점 / 주축의 길이가 달라집니다.
2. 쌍곡선의 정의와 주축과의 관계
좌우 쌍곡선을 기준으로 타원의 정의를 생각해봅시다.
'정의 : 두 초점 까지의 거리의 합이 2a 이다'
위 정의를 쌍곡선의 그래프에서 알아낼 수 있는 방법은 없을까요?
HINT : 주축의 길이
즉, 쌍곡선의 정의에서 거리의 차와 주축의 길이가 일치하는데
과연 우연일까요?
다음 그림을 보시면 확 이해가 될 겁니다.
점A에 대하여 쌍곡선의 정의를 생각해봅시다.
그러면 |FA - F'A| = 2a 인 상황입니다.
그런데, FA = F'A' 라고 볼 수 있으니 (대칭이니까)
|FA-F'A| = |F'A' - F'A| = AA' = 주축의 길이
따라서, 주축의 길이 = 2a
라는 사실이 다시한번 확인되게 됩니다.
천천히 생각해보며 그 의미를 발견하시면 좋겠습니다.
3. 쌍곡선 a, b, c 관계 쉽게 암기하는 법
c^2 = a^2 + b^2 임을 우리는 알고 있습니다.
(위 식의 증명이 궁금하신 경우 쌍곡선의 방정식 유도 과정을 찾아보시면 됩니다!)
방법1) 직각삼각형 그리기
다음 그림처럼 꼭짓점에서 수선을 그어
점근선과 만나는 교점을 기준으로 직각삼각형을 그리면 됩니다.
점근선의 기울기가 b/a 라 그렇구나!
정도만 이해하시면 됩니다.
따라서 저런 그림을 그려 놓으면
c^2 = a^2 + b^2 을 외우기 쉽습니다.
상하 쌍곡선의 경우 아래와 같습니다.
방법2) 쌍곡선의 방정식에서 c 바로 구하기
분모 두개 더한 것 = c제곱
라고 외워두시면 됩니다.
예를 들어 다음과 같은 상황에서 바로 c를 구할 수 있습니다.
쉬운 예제 하나 풀고 다음 내용으로 넘어갑시다.
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직접 풀고
풀이를 봐주세요
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[2] 평행이동 된 형태
평행이동 된 쌍곡선을 공부할 때
1) 무엇이 바뀌고 무엇이 안바뀌는 지
2) 많은 문제를 풀며 익숙해졌는 지
가 제일 중요하니, 이점에 유의하여 학습합시다.
1. 좌우 쌍곡선
'길이'는 유지되고 '좌표'는 변한다고 생각하면 쉽습니다.
즉,
주축의 길이 / 초점 사이 거리 / a, b, c 관계 -> 유지
중심 / 초점 / 꼭짓점 -> (m, n) 만큼 변화
2. 상하 쌍곡선
상하 쌍곡선의 경우 위 그림과 같으며
앞서 말한 대로 문제를 푸는 것이 중요하기에
같이 연습문제 몇개를 해결해 봅시다.
3. 예제 연습
예제1)
예제2)
예제3)
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직접 풀고
풀이를 봐주세요
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예제1) 해설
초점의 중점이 쌍곡선의 중심임을 이용하면,
sol2) 처럼 빠르게 해결할 수 있습니다!
예제2) 해설
마찬가지로 초점의 중심이 쌍곡선의 중심임을 이용하여
중심 (-1/2, 1) 을 구해내면 -> x : -1/2 만큼, y : 1 만큼 평행이동 됐음을 알 수 있습니다!
예제3) 해설
[3] 쌍곡선의 정의 활용
타원의 정의 자체는 그리 어려울게 없으나,
정의 활용 문제를 처음 풀때는 꽤 까다로울 수 있습니다.
타원의 정의를 사용하는 여러 상황을 보며 마인드셋을 장착해 봅시다.
이번 내용은 문제 위주로 설명될 예정입니다.
다음은 배경지식으로 알고 갑시다.
쌍곡선과 그 위의 점 등장 -> 초점과 연결해서 정의 써주기
원과 그 위 점 등장 -> 중심과 연결해서 반지름 표시
삼각형 or 사각형 둘레 등장 -> 쌍곡선 정의와 연결지어 식 쓸 생각
이번 내용은 문제 위주로 설명될 예정입니다.
1. 쌍곡선과 삼각형
가장 기본적이고 무난한 문제입니다.
삼각형의 둘레가 나왔으므로
쌍곡선 정의와 엮어서 생각해 보시면 쉽습니다.
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직접 풀고
풀이를 봐주세요
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2. 쌍곡선과 원
그리 어렵지 않은 문제이니
스스로 한번 고민해보면 좋을듯 합니다.
(HINT : 원의 지름에 대한 원주각 = 90도)
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직접 풀고
풀이를 봐주세요
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3. 쌍곡선과 쌍곡선
이 문제도 어렵지 않은 편이니, 먼저 풀어보시고
어려운 문제의 경우 문제풀이 영상 강의에서 같이 보면 될 것 같습니다!
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직접 풀고
풀이를 봐주세요
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오늘 7강에서는 쌍곡선의 방정식 총정리에 대해 공부했습니다.
다음 8강에서는 쌍곡선과 접선에 대해 공부할 예정이며
학습지를 꼭 풀어보신 뒤 유튜브에 있는
해설 영상까지 보셔서 오늘 내용을 체화시키길 권장드립니다!
학습지 링크 : https://study-all-night.tistory.com/167
[기하 실전개념 학습지 파일 정리]
1강 : 포물선의 정의와 그래프 (https://youtu.be/QdL3pngaynQ) 2강 : 포물선의 초점을 지나는 직선 (https://youtu.be/U2Q5At9CNoU) 3강 : 포물선의 닮음 활용(https://youtu.be/Lx6sLpMK19g) 4강 : 포물선 접선 성질 총
study-all-night.tistory.com
개념 영상 링크 : https://youtu.be/4BTyqrJUut8
해설 영상 링크 : https://youtu.be/91YBdb4IH3U
그럼 다음 강의에서 뵙겠습니다. 화이팅!